Konsep Dasar Segitiga Bola

Segitiga Bola

Salah satu materi di matematika yang berguna untuk menyelesaikan soal-soal astronomi (khususnya tentang astronomi bola) adalah “segitiga bola”.

Pertama-tama, kita bisa mencari jarak terpendek di antara 2 titik di bidang datar dengan mudah bukan? Bagaimana untuk bidang lengkung seperti bola? Perhatikan gambar di bawah ini!

Perhatikan. Di gambar kiri, jarak antara titik A dan B adalah ruas garis g (jarak terdekat antara A dan B). Bandingkan dengan gambar yang sebelah kanan. Jarak antara titik A dan B yang terletak di permukaan bola adalah busur AB. Harus dibuat sebuah lingkaran besar yang melalui titik A dan B untuk mencari busur AB tersebut. Lingkaran besar adalah lingkaran yang pusatnya berimpit dengan pusat bola. Ada satu lagi istilah yaitu lingkaran kecil. Lingkaran kecil yaitu semua lingkaran selain lingkaran besar.

Sekarang, apabila ada 3 buah lingkaran besar, maka dari 3 lingkaran besar tersebut akan sebuah segitiga yang sisi-sisinya adalah bagian dari busur pada bola. Perhatikan gambar untuk lebih jelasnya.

Bisa dilihat di sana ada 3 buah lingkaran besar yang saling berpotongan sehingga membentuk suatu luasan pada permukaan bola (luasan ABC). Luasan tersebut dinamakan sebagai segitiga bola. “Segitiga ABC” ini adalah segitiga bola dengan sisi-sisinya (a,b,c) dibentuk dari busur-busur di permukaan bola. Besar busur a,b,c dihitung dalam derajat dan besarnya dari 0-360 derajat. “Segitiga” tersebut juga mempunyai sudut (A,B,C) yang merupakan sudut apit antara kedua busur yang besarnya dari 0-180 derajat. Segitiga bola mempunyai beberapa dalil, beberapa yang terpenting adalah :

1. A + B + C pasti lebih besar dari 180 derajat (A + B + C > π)
2. Jumlah dua sudut pasti lebih besar daripada sudut yang lainnya (A + B > C ; A + C > B ; B + C > A)
3. Jumlah dua sisi pasti lebih besar daripada sisi yang lainnya (a + b > c ; a + c > b ; b + c > a)
4. Ekses bola (E, radian) didefinisikan sebagai E = (A + B + C) – π. Kelebihan sudut ini berguna untuk menghitung luas dari sektor segitiga bola tersebut.
   Luasnya -> L = R² * E (R = jari-jari bola, E dalam radian)

Sekarang, aturan-aturan yang menghubungkan besaran-besaran dari segitiga bola tersebut mirip dengan aturan-aturan yang menghubungkan sisi dan sudut dari segitiga planar (bidang datar) yaitu aturan cosinus dan aturan sinus.

Aturan Cosinus

Segitiga Planar	Segitiga Bola
a² = b² + c² – 2bc cos A	cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A
b² = a² + c² – 2ac cos B	cos b = cos a cos c + sin a sin c cos B
c² = a² + b² – 2ab cos C	cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C

Aturan Sinus

Segitiga Planar	Segitiga Bola

Mirip kan rumusnya antara segitiga planar dengan segitiga bola?

Yang terpenting hanya ini saja. Sebenarnya ada rumus-rumus segitiga bola lainnya, tetapi itu semua hanyalah turunan dari rumus-rumus di atas. Rumus-rumus di atas juga sebenarnya dapat dibuktikan tetapi cara pembuktiannya cukup memusingkan.

Rumus-rumus di atas adalah dasar untuk astronomi bola, contoh-contoh penggunaannya adalah menghitung besar jarak antara, misalkan, kota Jakarta dengan London. Pertama-tama kita perlu menggambar dulu segitiga bolanya lalu kemudian cari besar jarak sudut antara Jakarta dengan London dengan aturan sinus atau aturan cosinus. Setelah itu bisa dicari jarak linearnya. Sama kasusnya untuk tata koordinat benda langit. Bisa dibuat rumus yang menghubungkan tata koordinat horizon dengan ekuatorial maupun sebaliknya, tata koordinat ekuatorial dengan ekliptika maupun sebaliknya, dsb. Mungkin post selanjutnya akan membahas beberapa tentang hal itu.

Artikel dan bacaan yang menunjang :
A.E. Roy & D. Clarke – Principle and Practice 4th edition
http://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry
contoh aplikasi segbol : http://astronomy2008.wordpress.com/2008/12/14/segitiga-bola-part-ii/

Segitiga Bola (Part II)

Setelah selesai dengan penjelasan tentang segitiga bola di post sebelumnya, maka sekarang di post ini saya akan menjelaskan aplikasi dari prinsip segitiga bola untuk menyelesaikan beberapa soal tentang astronomi, khususnya adalah jarak linear di bumi dan konversi antartata-koordinat.

Contoh 1 : Jarak linear di Bumi

Misalkan kota A yang terletak pada koordinat 50 derajat LU, 105 derajat BT dan kota B yang terletak pada koordinat 30 derajat LS, 30 derajat BT. Berapakah jarak terdekat kedua kota tersebut?

Strageti pemecahan : gambarkan dahulu posisi 2 kota tersebut lalu hitung besar busur yang menghubungkan 2 kota tersebut, lalu konversi menjadi jarak linear.

Definisikan dahulu besaran-besaran yang ingin dicari.
Busur AB = a
Busur AZ = b
Busur BZ = c
Sudut BZA = A

Besar sudut A = 105 – 30 = 75 derajat. b = (90-50)derajat = 40 derajat. c = (90+30) derajat = 120 derajat.
Setelah semua besaran ada, gunakan aturan cosinus untuk mencari sisi a.

Setelah kita dapatkan besar busur a, kita harus mencari dahulu panjang linear di bumi per satu derajat. Besarnya bisa kita dapatkan dengan membagi keliling ekuator bumi dengan 360 derajat, kita akan dapatkan panjang per satu derajat. Lalu angka tersebut dikalikan dengan 103.82 derajat, maka kita dapatkan jarak terdekat Jakarta-London.

Di atas adalah salah satu contoh menghitung jarak terdekat di permukaan bola. Contoh lainnya menyusul.

Untuk yang masih bingung tentang segitiga bola, baca kembali artikel http://astronomy2008.wordpress.com/2008/12/14/segitiga-bola/